超现实数

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解释

超实数的集合用符号 *R 来表示。这个集合是 R 的一个扩展，被称为 R 的∗变换。

•	超小数对于每一个非零的超小数 ε 适用，它可以被倒置，结果是数字 ω = 1 / ε.
•	超大数对于超大数 ω 适用于所有 m ∈ N 的 \|ω\| > m。如果 ω 是正数，我们可以计算出 m < √ω < ω / 2 < ω − 1 < ω < ω + 1 < 2ω < ω² 我们也有 (ω + 1)·(ω − 1) = ω² − 1 或 (ω + 1) + (ω − 1) = 2ω。对于无穷大的 ∞ 来说，这当然不是真的，它根本不被视为一个数字。

实例

各种超实数都有特殊的属性。

ε ≃ 0 超小数 ε 渐近地等于零。

δ ≈ 0 超小数 δ 大约等于零，但它不是零。

ω ~ ∞ 超光数 +ω 是正数，与正一无穷的 +∞ 具有相同的数量级。+ω 和 +∞ 之间的差异并不超小。

−ω ~ −∞ 超光数 −ω 是负数，与减一的 −∞ 的数量级相同。−ω 和 −∞ 之间的差异并不小。

历史

德裔美国数学家亚伯拉罕-罗宾逊在 1960 年初定义了超实数。

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ε ≃ 0	超小数 ε 渐近地等于零。
δ ≈ 0	超小数 δ 大约等于零，但它不是零。
ω ~ ∞	超光数 +ω 是正数，与正一无穷的 +∞ 具有相同的数量级。+ω 和 +∞ 之间的差异并不超小。
−ω ~ −∞	超光数 −ω 是负数，与减一的 −∞ 的数量级相同。−ω 和 −∞ 之间的差异并不小。